ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА

Прежде чем перейти к линеаризации уравнений возмущенного движения са­молета (15.1), рассмотрим методику линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений возмущенного движения произвольной динамической системы (см. 9.1)

= Уш (*- Уи У». • • Уп) (s=l,2………………….. и). (15.2)

Пусть невозмущенному (опорному) движению соответствует одно из частных решений уравнений (15.2) вида ys = у® (t). Подставляя это частное решение в (15.2), получим следующие равенства, отвечающие опорному движению,

-іг = М’. *?.*8…………. *£)• <15-3)

Будем считать, что кинематические параметры возмущенного движения уа мало отличаются от соответствующих параметров опорного движения у$ в одни и те же моменты времени

Уш = 05.4)

где Дys — малые отклонения (вариации) параметров движения.

Вычитая из каждого уравнения системы (15.2) соответствующие равенства (15.3) и имея в виду (15.4), получим

= Ks (/. „„ у2……………. уп) — Ys (<, у, у………………… р°). (15.5)

Разложим нелинейную функцию Y, (<, у1г уа…………….. уп) в ряд Тейлора по сте­

жения) У»(і>Уі’ У2……….. Уп) = у*({> У°• УІ………….. Р°) +

)о ** + ("ПН*у*+- + (ж)о Дг/" + (<* Лг/1’

пеням вариаций &ys в окрестности значений переменных у® (невозмущенного дви­

где производные (dYsldyt)0…………. (дУ$/дуп)о, взятые в окрестности невозмущенного

движения; У* (<, Дyv Дуа, Дуп) — совокупность членов разложения выше

первого порядка малости.

Подставляя (15.6) в (15.5) и пренебрегая в первом приближении величинами второго и выше порядка малости (Y* « 0), получим линейные уравнения возмущен­ного движения произвольной динамической системы

где коэффициенты asl = (-§£-)0> …. asn =

Коэффициенты уравнений (15.7) будут переменными в случае неустановившегося невозмущениого движения и постоянными, когда невозмущенйое движение уста­новившееся.

В соответствии с изложенной методикой линеаризации будем считать, что кинематические параметры возмущенного движения

самолета мало отличаются от параметров опорного движения в одни и те же моменты времени: V — V0 + AV, а = а0 + Да, •••, <*>х =

~ — t~ Д • • •

Здесь V0, а0, …, со£, … — параметры опорного (невозмущен­ного) движения; AV, Да, …, Асо% … — мальїе отклонения пара­метров возмущенного движения от их значений в опорном дгпжении.

— Условие малости угловых отклонений Ах позволяет принять cos Ах « 1, a sin Ах « Ах, где х : а, р, G, …

При линеаризации уравнений (15.1) будем пренебрегать произ­ведениями малых отклонений как величинами рыше первого порядка малости.

Правые части уравнений 1—3 и 7—9 системы (15.1) разложим в ряды Тейлора по степеням отклонений (AV, Аа, …) в окрестности невозмущенного движения, сохранив при этом только величины первого порядка малости.

В качестве примера рассмотрим линеаризацию первого уравнения системы (15.1). Принимая массу самолета постоянной, получим

+ (ті1-). + ( тН’* + (тг), “ +

Так как в невозмущеином движении справедливо равенство т = Д®к, то линейное дифференциальное уравнение примет вид

= ДЭ+

+ Д0 + РІЇ дев 4- F6« ден + FPXK АР.. .,

рV _ / дрхк . . рР _ / ,dFxк .

*« ~ V dV /о………………. .** ~ дР )0′ ‘ »

Подобным образом можно провести линеаризацию остальных уравнений си­стемы (15.1).

Обращаем внимание на то, что вид линеаризованных уравнений н значения коэффициентов FXK> F°^t… зависят от выбранного опор­ного (невозмущенного) движения, относительно которого рассма­триваются отклонения AV, Да, Ар, …

Нл; Наиболее простым, но достаточно характерным является случай, когда в качестве опорного рассматривается прямолинейный устано — . вившийся полет без крена и скольжения. В этом движении V0 = = const; а0 = const; 0° = const; 4го = ф° = const; (Ї0 = у° = у ° = = 0; со£ — сор = со® = 0; 6“ = 6£ = 0 и, следовательно, F%K = 0; FIк = 0; fjк = 0; М%х — 0; М%у = 0и М%г = 0.

При линеаризации будем предполагать, что направление нор­мальной оси OXg выбрано таким образом, что в невозмущенном дви-

жении углы пути и рыскания 4го и |з° являются малыми величинами. Кроме того, приближенно будем считать, что влияние приращения высоты АН в возмущенном движении на аэродинамические силы и моменты и на тягу двигателей мало и учитывать его не будем.

После линеаризации уравнений (15.1) система линейных диф­ференциальных уравнений возмущенного движения самолета при­нимает вид

mAV = FvXKAV + F? KAa — h fH« ДЄ + ft АР+

+ FXK АР + FlBK A6b — f Fl"K A6„ + ..’., mV° A0 = Fh AV + * A-x + f]k Д0 + Др + f£ AP + F^ A6B — f

-і-гігдвн-ь….

~tnV° cos G° AW=FVZK AV + F°ZKAa + FZK Др + fJ? Aya + F% A6„ f • •

AL = cos G°AV — V° sin G°AG;

AH = sin G°AV + V° cos 0°AG;

A4 = — V° cos 6°А¥;

Jx A(ox — Jxy A&y = Мд* AV + Мд* Ad {- M%x Ap — f *4* Мд* Дсо* — f — M$c Ae>y -)- Мд* A6H -(- Мд* Д6* — j — ..

V ■ ct, p o)

JyAtiy — Jxy Av)x — M-Ry A К Мцу Да — f" Ap — f — Мд^ Aw* -(-

+ Mfty Atoу -f — Мд” A6H -)- Мд°Д6, -b • • • •

Jt Дев, = Мд, ДК + M д, Аа + Лід, Др + Мд, Да + Мд| Ato* — f-
+ Мд, АР + M& Двн + Л1д5 Д6В + .

АЬ — Да»*;

(15.8)[29]

= А&х — tg G® Дю4 Да = ДО — Д0;

Если в качестве опорного движения рассматривать неустановив — шийся прямолинейный полет, то коэффициенты в уравнениях (15.8) будут переменными, а в случае установившегося — постоянными.

Полученную сложную систему линейных дифференциальных уравнений (15.8) можно разделить на простые подсистемы, которые можно исследовать независимо друг от друга.